25/06/17

PENGUNAAN TURUNAN

 Titik Ekstrim, Titik Belok, Asimtot, dan Grafik Fungsi

Ekstirm Mutlak dan Ekstrim Lokal kita mulai pasal ini dengan mendefinisikan ekstrim mutlak dan ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diketahui pada suatu selang.

Definisi 4.1 Misalkan fungsi f kontinu pada selang I yang memuat titik c.

· Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai maksimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.

· Fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di c jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai mimimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik mimimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.

· Fungsi f dikatakan mencapi maksimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai maksimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi f pada selang I.

· Fungsi f dikatakan mencapi minimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai minimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi f pada selang I.

Catatan: maksimum dan minimum daru suatu fungsi dinamakan ekstrim fungsi tersebut.

Turunan di Titik Ekstrim Lokal

Pada suatu fungsi yang terdeferensialkan di titik ekstrim lokalnya, turunan fungsi di titik ekstrim lokalnya selalu nol. Berikut ini adalah teorema tentang turunan di titik ekstrim lokal beserta pembuktiannya.

Contoh

tentukan titik kritis dari f(x)=2x² + 4x ; pada selang tertutup I = [-2,1]

jawab: f'(x)=0

f'(x) = 4x + 4 = 0

x = 1

berarti titi kritisnya yaitu:

[-2, 1,]

 Turunan di titik ekstrim lokal

Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapai ekstrim lokal di c dan fungsi f terdiferensialkan di c, maka f’(c) = 0.

Bukti: kita buktikan untuk kasus maksimum lokal saja, kasus minimum lokal serupa. Karena fungsi f mencapai maksimum lokal di c, maka di sekitar c belkau F(c) ≥ f(x), sehingga f(x) – f(c) ≤ 0. Karena fungsi f terdiferensialkan di c, maka kita mempunyai

f’(c) = f_-^‘(c) = dan f’(c) = f₊^‘(c) = .

ini mengakibatkan f’(c) ≥ 0 dan f’(c) ≤ 0, sehingga kesimpulannya f’(c) = 0.

Catatan: Kebalikan Teorema 1.2 tidak benar lain, cntoh penyangkalan adalah fungsi f(x) = x³. Di sini berlaku f’(0) = 0 tetapi fungsi f tidak mencapi ekstrim di 0.

Contoh

kapan fungsi f(x) = 4x – x² naik dan turun

jawab: fungsi itu turun ketika f'(x) <>

4 – 2x <>

x > 2

fungsi itu naik ketika f'(x) > 0

4 – 2x > 0

x <2